22.10.2021

Интересные факты геометрия: от Древнего Египта до неевклидовых геометрий

от Древнего Египта до неевклидовых геометрий

С геометрией мы сталкиваемся ежесекундно, даже не замечая этого. Размеры и расстояния, формы и траектории движения — всё это геометрия. Значение числа π знают даже те, кого в школе от геометрии воротило, и те, кто, зная это число, не в состоянии подсчитать площадь круга. Многие знания из области геометрии могут показаться элементарными — все знают, что самый короткий путь через прямоугольный участок лежит по диагонали. Но для того, чтобы сформулировать это знание в виде теоремы Пифагора, человечеству понадобились тысячелетия. Геометрия, как и другие науки, развивалась неравномерно. На смену резкому всплеску в Древней Греции пришёл застой Древнего Рима, который сменился Тёмными веками. Новому всплеску в Средневековье пришёл на смену настоящий взрыв 19 — 20 веков. Из прикладной науки геометрия превратилась в область высоких знаний, и её развитие продолжается. А начиналось всё с подсчёта налогов и пирамид…

1. Скорее всего, первые геометрические знания были выработаны древними египтянами. Они селились на плодородных заливаемых Нилом почвах. Налоги платили от имевшейся в распоряжении земли, а для этого нужно вычислять её площадь. Площадь квадрата и прямоугольника научились считать эмпирически, исходя из подобных фигур меньшего размера. А круг принимали за квадрат, стороны которого равны 8/9 диаметра. Число π при этом составляло примерно 3,16 — вполне приличная точность.

2. Занимавшихся геометрией строительства египтян называли гарпедонаптами (от слова «верёвка»). Самостоятельно они работать не могли — требовались рабы-помощники, так как для разметки поверхностей нужно было растягивать верёвки разной длины.

Строители пирамид не знали их высоту

3. Математическим аппаратом для решения геометрических задач первыми воспользовались вавилоняне. Они уже знали теорему, которую потом назовут Теоремой Пифагора. Все задачи вавилоняне записывали словами, отчего те получались очень громоздкими (ведь даже знак «+» появился только в конце 15-го века). И, тем не менее, вавилонская геометрия работала.

4. Систематизировал скудные тогда геометрические знания Фалес Милетский. Египтяне построили пирамиды, но не знали их высоты, а Фалес смог её измерить. Ещё до Евклида он доказал первые геометрические теоремы. Но, может быть, главным вкладом Фалеса в геометрию стало общение с юным Пифагором. Этот человек уже в старости повторял песнь о своей встрече с Фалесом и её значении для Пифагора. А ещё один ученик Фалеса по имени Анаксимандр начертил первую карту мира.

Фалес Милетский

5. Когда Пифагор доказал свою теорему, надстроив прямоугольный треугольник квадратами по его сторонам, его шок и потрясение учеников были так велики, что ученики решили — мир уже познан, осталось только объяснить его числами. Пифагор ушёл недалеко — он создал много нумерологических теорий, не имеющих отношения ни к науке, ни к реальной жизни.

Пифагор

6. Попытавшись решить задачу нахождения длины диагонали квадрата со стороной 1, Пифагор и его ученики поняли, что конечным числом эту длину выразить не удастся. Однако авторитет Пифагора был так силён, что он запретил ученикам разглашать этот факт. Гиппас не послушался учителя и был убит кем-то из других последователей Пифагора.

7. Важнейший вклад в геометрию внёс Евклид. Он первым ввёл простые, понятные и однозначные термины. Евклид также определил незыблемые постулаты геометрии (мы их называем аксиомами) и начала логически выводить все остальные положения науки, базируясь на этих постулатах. Книга Евклида «Начала» (хотя строго говоря, это не книга, а набор папирусов) — это Библия современной геометрии. Всего Евклид доказал 465 теорем.

8. Используя теоремы Евклида, работавший в Александрии Эратосфен первым вычислил длину окружности Земли. Основываясь на разнице в высоте тени, отбрасываемой палкой в полдень в Александрии и Сиене (не итальянской, а египетской, теперь это город Асуан), пешеходном измерении расстояния между этими городами. Эратосфен получил результат, всего на 4% отличающийся от нынешних измерений.

9. Архимед, которому Александрия была не чужда, хоть он и родился в Сиракузах, изобрёл немало механических устройств, но своим главным достижением считал вычисление объёмов конуса и шара, вписанных в цилиндр. Объём конуса составляет одну треть от объёма цилиндра, а объём шара — две трети.

Нет и не собираюсь

14.61%

Ничего не задали

7.75%

Проголосовало: 56690

Смерть Архимеда. «Отойди, ты закрываешь мне Солнце…»

10. Как ни странно, но за тысячелетие римского господства геометрия, при всём расцвете наук и искусств в Древнем Риме, не было доказано ни одной новой теоремы. В историю вошёл лишь Боэций, пытавшийся составить нечто вроде облегчённой, да ещё и изрядно перевранной, версии «Начал» для школьников.

11. Тёмные века, наступившие после краха Римской империи, затронули и геометрию. Мысль как бы замерла на долгие сотни лет. В 13-м веке Аделард Бартский впервые перевёл «Начала» на латынь, а ещё сто лет спустя Леонардо Фибоначчи привёз в Европу арабские цифры.

Леонардо Фибоначчи

12. Первым создавать описания пространства на языке чисел начал в 17-м веке француз Рене Декарт. Он же применил систему координат (её знал ещё Птолемей во 2-м веке) не только к картам, а ко всем фигурам на плоскости и создал описывающие простые фигуры уравнения. Открытия Декарта в геометрии позволили ему сделать ряд открытий и в физике. При этом, опасаясь гонений церкви, великий математик до 40 лет не опубликовал ни одной работы. Оказалось, правильно делал — его работу с длинным названием, которую чаще всего именуют «Рассуждение о методе», критиковали не только церковники, но и коллеги-математики. Доказало правоту Декарта, как ни банально это звучит, время.

Рене Декарт справедливо опасался публиковать свои труды

13. Отцом неевклидовой геометрии стал Карл Гаусс. Ещё мальчиком он самостоятельно выучился читать и писать, и однажды поразил отца, поправив его бухгалтерские расчёты. В начале 19-го века он написал ряд работ об искривлённом пространстве, но не публиковал их. Теперь учёные боялись не костра инквизиции, а философов. В то время мир млел от «Критики чистого разума» Канта, в которой автор призывал учёных отказаться от строгих формул и положиться на интуицию.

Карл Гаусс

14. Тем временем Янош Бойяи и Николай Лобачевский параллельно также разработали фрагменты теории неевклидового пространства. Бойяи также отправил свою работу в стол, лишь написав об открытии друзьям. Лобачевский в 1830 году напечатал свою работу в журнале «Казанский вестник». Лишь в 1860-х годах последователям пришлось восстанавливать хронологию работ всей троицы. Тогда-то и выяснилось, что Гаусс, Бойяи и Лобачевский работали параллельно, никто ни у кого ничего не воровал (а Лобачевскому одно время это приписывали), а первым всё же был Гаусс.

Николай Лобачевский

15. С точки зрения повседневной жизни обилие геометрий, созданных после Гаусса, выглядит игрой в науку. Однако это далеко не так. Неевклидовы геометрии помогают решить массу задач в математике, физике и астрономии.

Мне нравится1Не нравится1

Голосуй звездами!

Загрузка…

Интересные факты о геометрии

Геометрия — удивительная наука, один из важнейших и значительных разделов математики. Она присутствует в нашей жизни повсюду: предметы, объекты, которые нас окружают, имеют форму, размер, их можно измерить, оценить расстояние между ними, расположение относительно друг друга. Эту науку начинают изучать в 7 классе. Представляем интересные факты о геометрии.

Эта наука насчитывает тысячелетия, ее возникновение связывают с необходимостью для древних египтян измерять площадь плодородных земель в долине реки Нил. Эти земли регулярно подвергались затоплению, в результате которого размывались границы, определяющие принадлежность участков конкретных владельцам. Для того, чтобы восстановить границы своих владений, египтянам приходилось производить соответствующие измерения и вычисления. Особенно внимательно к таким расчетам относились сборщики налогов на землю.

Впоследствии из Древнего Египта геометрия перекочевала в Древнюю Элладу, где получила дальнейшее развитие. Древние греки с большим почтением относились к этой науке и отождествляли ее с математикой. «Пусть сюда не входит тот, кто не знает геометрии», — такие слова встречали учеников Платона на пороге Академии.

В названиях многих геометрических фигур заключены слова, описывающие предметы, похожие на данные фигуры. Так, трапеция обязана своим названием сходству со столом, который в древнегреческом обиходе именовался «трапезион». Сосновая шишка, именуемая в греческом языке словом «конос», дала название известному нам конусу. А вот «линия» имеет латинский корень («линум» переводится как «льняная нить»).

Очень интересным по своим свойствам является круг. Если сравнивать все геометрические фигуры, имеющие одинаковый периметр, то круг будет иметь наибольшую площадь. И наоборот, если рассматривать все фигуры, имеющие одинаковую площадь, то окажется, что минимальный периметр — у круга.

Во второй половине 20 века появилось новое слово в геометрии — фракталы. Его ввел Бенуа Мандельброт, который считается основателем фрактальной геометрии, хотя сами фрактальные структуры существовали в природе задолго до этого. Ведь фракталы — это множества самоподобных элементов. Примером такого множества является красивое соцветие капусты сорта Романеско. Его бутоны расположены в соответствии со строгой логарифмической спиралью, каждый бутон, в свою очередь, состоит из более мелких бутонов, расположение которых аналогично. И эта структура повторяется многократно.

Закономерность, присущую фрактальным структурам, вывел еще известный итальянский ученый Леонардо да Винчи: если на определенной высоте измерить диаметр ствола дерева и возвести его в квадрат, то полученное значение будет равно сумме квадратов диаметров ветвей, расположенных на той же высоте. Впоследствии это было подтверждено и другими исследователями с одним уточнением: степень в формуле не всегда является квадратной, ее величина может принадлежать интервалу от 1,8 до 2,3. Описанное Леонардо да Винчи явление изначально объяснялось необходимостью обеспечения оптимальной структуры дерева, позволяющей более эффективно снабжать растение питательными соками. Позднее этому факту было предложено иное объяснение: подобная фрактальная структура дерева уменьшает вероятность того, что сильные порывы ветра могут сломать ветки.

Расположение листьев на ветке также подчинено определенному закону. Угол расхождения, который образуется между соседними листьям, для каждого растения свой, но описывается он всегда простой дробью. В числителе и знаменателе такой дроби — числа из ряда Фибоначчи, который представляет собой последовательность чисел, где каждое следующее число представляет собой сумму двух предыдущих, причем два первых — это 0 и 1, либо 1 и 1. Например, угол расположения листьев бука составляет 1/3 или 120 градусов, у абрикоса этот угол равен 2/5, у груши — 3/8, а у ивы — 5/13. Располагаясь подобным образом, листья получают оптимальный ресурс солнечного света.

Основоположником геометрии как науки является Евклид, который свыше 2000 лет назад дал наиболее логичное и стройное ее изложение в своей книге «Начала». Впоследствии его учение так и стало называться «евклидова геометрия». И только в начале 19 века некоторые ученые предположили возможность существования иной геометрии, отличной от евклидовой. Первый из них — Николай Иванович Лобачевский, профессор Казанского университета. Геометрия Лобачевского имеет в своей основе те же положения, что и «евклидова геометрия», за исключением аксиомы о параллельности прямых. В соответствии с учением Евклида, существует только одна прямая, проходящая через точку вне заданной прямой и принадлежащая той же плоскости. Это верно для плоскости, не имеющей отклонения или кривизны. Лобачевский вводит понятие плоскости с отрицательной кривизной (поэтому геометрию Лобачевского называют еще «гиперболическая геометрия»). И тогда прямые, принадлежащие этой плоскости, приобретают иные свойства, которые допускают возможность существования как минимум двух прямых, имеющих общую точку, лежащую вне данной прямой, и не пересекающих данную прямую. Следует отметить, что геометрия Лобачевского нашла отражение в теории относительности А. Эйнштейна, согласно которой пространство нашей Вселенной имеет гиперболическую форму.

Презентация «Интересная геометрия»

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Интересная геометрия
Работу выполнил ученик 4 класса МКОУ — Усть-Луковской СОШ Гапшис Альбинас Руководитель: Лебедева Е. В.

Слайд 2

В жизни вы постоянно сталкиваетесь с объёмными геометрическими фигурами, или телами, и наверняка уже знаете названия некоторых из них. Знать название геометрических тел необходимо людям различных профессий: лётчикам, космонавтам, шофёрам, морякам, инженерам, строителям, дизайнерам, поварам, кондитерам, механикам, врачам, архитекторам, художникам… Этот список можно продолжать бесконечно. Не случайно геометрические тела изучают в начальной школе. А это значит, что каждому из вас эти знания необходимы. Этот проект поможет вам расширить знания об объёмных геометрических фигурах.

Слайд 3

Цель: создать галерею поделок на основе геометрических фигур, своими руками.

Слайд 4

Задачи:
Изучить названия объёмных геометрических фигур. Найти в интернете поделки из бумаги на основе объемных геометрических фигур. Изготовить поделки на основе объемных геометрических фигур.

Слайд 5

Оборудование и материалы:
Цветная бумага, клей, ножницы, карандаш, линейка.

Слайд 6

Вот колпак на голове –  Это клоун на траве. Круг в основе колпака. Как же звать его тогда?

Слайд 7

КОНУС

Слайд 8

Из двух конусов я сделал лягушку

Слайд 9

А вот лягушки моих одноклассников

Слайд 10

Присмотрись, стоит ведро — Сверху крышка, снизу дно. Два кружка соединили И фигуру получили. Как же тело называть? Надо быстро отгадать.

Слайд 11

ЦИЛИНДР

Слайд 12

На основе цилиндра я сделал медведя

Слайд 13

А это поделки моих одноклассников.

Слайд 14

Вновь беремся мы за дело, Изучаем снова тело: Может мячиком он стать И немного полетать. Очень круглый, не овал. Догадались? Это…

Слайд 15

ШАР

Слайд 16

На основе шара я сделал веселого помпончика.

Слайд 17

А это поделки моих одноклассников.

Слайд 18

Египтяне их сложили И так ловко смастерили, Что стоят они веками. Догадайтесь, дети, сами Что же это за тела, Где вершина всем видна? Догадались? Из-за вида Всем известна…

Слайд 19

ПИРАМИДА

Слайд 20

На основе пирамиды я сделал шляпку мухоморчика.

Слайд 21

Как его нам не вертеть Равных граней ровно шесть. С ним в лото сыграть мы сможем, Только будем осторожны: Он не ласков и не груб, Потому что это…

Слайд 22

КУБ

Слайд 23

На основе куба я сделал кубик для настольных игр.

Слайд 24

Вот кирпич, учебник новый, Пастила, журналов тюк. Назови их форму словом Из четырнадцати букв!

Слайд 25

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

Слайд 26

На основе параллелепипеда я сделал многоэтажный дом.

Слайд 27

Эта фигура называется додекаэдр.

Слайд 28

Выводы:
Я изучил названия некоторых объёмных геометрических фигур. Нашел в интернете поделки из бумаги на основе объемных геометрических фигур. Создал галерею поделок на основе изученных объемных геометрических фигур.

Слайд 29

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

Слайд 30

ИСТОЧНИКИ ИНФОРМАЦИИ: http://igri-uma.ru/ http://mshishova.ru/stihi-pro-geometricheskie-figury-i-obemnye-tela/#ixzz3SKCGo0Gv liubavyshka.ru http://otvet.mail.ru/ http://www.olesya-emelyanova.ru/

Интересные факты | Математика, которая мне нравится

Санта-Мария-ин-Трастевере

В Риме и его окрестностях можно найти многочисленные храмы с геометрическими рисунками.

В эпоху Средневековья, в конце XII века, мастера из семьи “римских мраморщиков’’ (примеч. они сами так себя называли), Космати, начали делать полы в храмах Рима и окрестностей в своем стиле, наиболее выдающемся для той эпохи, который получил название косматеско.

Полы в стиле косматеско

Стиль косматеско развился частично под влиянием византийской культуры (мозаика), исламистской культуры (геометрия) и классического вкуса того времени. Четыре поколения архитекторов, скульпторов и художников семьи Космати, начиная с Лоренцо (1140—1210) и заканчивая Джованни (1231—1303), всего семь мастеров, принимали участие в строительстве храмов в районе Рима, наполняя их красивейшей геометрией.

Их полы, с геометрическими формами и узорами, сделаны из плитки, как правило, из мрамора или другого камня, редко из стекла. Мозаичные плитки имеют разную форму, цвет их тоже различный: от темно-красного порфира до зеленого змеевика, с добавлением белого мрамора из Каррары для глубины. Многие плитки были взяты из римских руин.

Пол Сикстинской капеллы

Основным мотивом в рисунке обычно являются круги, в которые вписаны геометрические фигуры различной формы: треугольники, параллелограммы, многоугольники, окружности…, которые переплетаются друг с другом, образуя характерные полосы необыкновенной красоты и весьма гармоничные.

Круглые фигуры постепенно переходят в прямоугольные, делается это с помощью мозаичных плиток несколько неправильной формы.

Стилю косматеско на протяжении веков подражали многие художники. Так, примером тому является картина “Послы’’ Ганса Гольбейна младшего.

Кроме того, в стиле косматеско выполнены некоторые полы в Вестминстерском аббатстве.

Как вы полнимаете, интерес математиков к этой мозаике не вызывает сомнений. Читать полностью ‘Геометрия в храмах’ »

195 лет неевклидовой геометрии Лобачевского

Что такое неевклидова геометрия и как открытие Николая Лобачевского изменило науку?

«Он бросил вызов аксиоме»
Эйнштейн об открытии Н.И.Лобачевского.

195 лет назад (11 (23) февраля 1826 г.) на заседании физико-математического факультета Императорского Казанского университета Николай Иванович Лобачевский впервые представил общественности неевклидову геометрию.

Текст доклада «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных» не сохранился, но известно, что в этот день ученый изложил основы новой геометрии, в которой нарушались общепринятые представления, в частности пятый постулат Евклида, гласящий, что две прямые, пересекающие друг друга, не могут быть одновременно параллельны третьей прямой

(прим.: постулат изложен в формулировке Джона Плейфэра). До Лобачевского евклидова геометрия считалась единственной и незыблемой.

Николай Лобачевский заменил пятый постулат Евклида на противоположное утверждение: если из точки, не лежащей на прямой, выпустить все лучи, пересекающие эту прямую, то слева и справа эти лучи будут ограничены двумя предельным лучами, которые прямую уже не пересекут, но будут становиться к ней все ближе и ближе, а угол между этими предельными лучами будет строго меньше 180 градусов; то есть через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не одну прямую, параллельную данной (как у Евклида), а сколько угодно, причем эти прямые будут вести себя иначе, чем в трактовке Евклида.

Справка. Обычно в современных изложениях геометрии 5-й постулат Евклида заменяется на эквивалентную ему аксиому параллельных прямых (встречается уже у Прокла в V в. н. э.): через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, не пересекающуюся с данной. (Слово «прямая» здесь, как обычно в современной математике, обозначает бесконечную прямую).

Высказанная ученым идея о сходимости параллельных прямых (две параллельные прямые могут сначала сближаться, а потом удаляться) не произвела на присутствующих должного впечатления. Революционную неевклидову геометрию в России не поняли, Академия наук дала отрицательную оценку, а в журнале «Сын отечества» язвительно написали, что в ней отсутствует не только ученость, но и элементарный здравый смысл. 

«Николай Иванович Лобачевский был гениальным ученым. Он был необычайно упорен. Будучи уже ректором университета, Лобачевский слыл среди коллег сумасшедшим из-за того, что придумал свою неевклидову геометрию. Позднее он ее издал, но параллельно, когда до нее уже додумались и другие люди», — рассказывал в беседе с «Научной Россией» академик РАН Владимир Захаров.

Геометрия Лобачевского стала толчком к переосмыслению природы пространства. Можно сказать, что работа ученого подготовила условия для создания общей теории относительности, ведь раньше у нас была только одна геометрия и одно понимание пространства, но это в корне изменилось благодаря нашему соотечественнику.

Спустя три года после выступления в Казанском университете Лобачевский опубликовал статью о своей геометрии в университетском журнале. Как уже отмечалось выше, поначалу многие отнеслись к работе ученого критически; потребовались годы, чтобы неевклидова геометрия отвоевала себе место под Солнцем.

Неевклидова геометрия в каком-то смысле разделила науку на до и после, но эта работа отнюдь не единственный вклад Николая Лобачевского в развитие научной мысли. Независимо от бельгийского математика Жерминаля Данделена Лобачевский разработал метод приближенного решения уравнений, уточнил понятие непрерывной функции, написал работы о тригонометрических рядах, предложил признак сходимости числовых рядов и опубликовал немало других важных трудов. 

Подготовлено по материалам:

● Неевклидова геометрия Лобачевского — Валентина Кириченко

● Н. И. Лобачевский, Геометрические исследования по теории параллельных линий. Перевод, комментарии, вступительные статьи и примечания профессора В. Ф. Кагана. М.-Л., изд-во Академии Наук СССР, 1945.

● Николай Лобачевский – интересные факты об ученом на портале «Научная Россия».

● Евклид. Начала.

В геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются

Все мы в школе проходим курс геометрии — науки, в кото­рой кто-то не видит смысла, а иные находят свое призвание. При этом мы изучаем Евклидову геометрию, зародившуюся бо­лее двух тысяч лет назад, но и сейчас остающуюся актуальной. Но почти все слышали и о других, так называемых неевкли­довых геометриях, в частности — о геометрии Лобачевского. И самое странное, что знакомство с этой наукой заканчивалось на утверждении, что она допускает возможность

пересечения параллельных прямых. Этот факт удивляет, даже поражает, но, как и все непонятное, воспринимается на веру.

А ведь на самом деле геометрия Лобачевского не так уж силь­но отличается от привычной нам геометрии и параллельные прямые в ней не пересекаются — это досужий миф, родившийся при странных обстоятельствах. Но, для того чтобы это понять, необходимо хотя бы вкратце разобрать историю появления гео­метрии как науки.

В школах изучается геометрия, основы которой были зало­жены древнегреческими математиками. А примерно в 300 году до н. э. свет увидел труд, ставший основой всей современной геометрии, — «Начала» Евклида.

В «Началах» собраны все геометрические сведения, получен­ные трудами десятков математиков античности, живших до Ев­клида. Этот труд, состоящий из тридцати больших томов, на два тысячелетия стал единственным учебником, по которому можно было изучить геометрию. И «Начала» прекрасно описывают про­странство, в котором мы живем, благодаря чему эту геометрию (как и пространство) назвали Евклидовой.

Однако с конца XVIII века начались попытки создания гео­метрии, отличной от геометрии, описанной в «Началах». При­чиной тому стали противоречия, возникающие в Евклидовой геометрии, в частности знаменитая проблема пятого постулата. Следствием этого постулата является понятие параллельных прямых, не пересекающихся на всем их протяжении. Само по себе это утверждение не представляет собой чего-то необыч­ного или странного, но в нем есть один изъян — доказать его с помощью математического аппарата просто-напросто

невоз­можно! И именно это обстоятельство толкнуло ученых на соз­дание неевклидовой геометрии, в которой данный недостаток был бы устранен.

Над указанной проблемой трудилось несколько ученых, в том числе и знаменитый Карл Гаусс, но «первопроходцем» в этой области стал русский математик Николай Лобачевский

. Первая его работа, заложившая основы геометрии, отличной от Евклидовой, появилась в 1829 году и с тех пор не претерпела осо­бых изменений. Вначале геометрия Лобачевского считалась не­пригодной к практическому применению, так как пространство, в котором мы живем, не соответствует пространству, описы­ваемому этой геометрией. Однако законы, выведенные Ло­бачевским, вскоре нашли практическое применение — стало возможным решение ряда практических задач, практически не решаемых с помощью традиционных средств.

Главное отличие геометрии Лобачевского от геометрии Ев­клида — в том же пятом постулате. Именно из-за этой аксиомы многие люди ошибочно считают, что неевклидова геометрия допускает пересечение параллельных прямых. Однако это глу­бочайшее заблуждение, родившееся из-за неверной трактовки постулата и некоторых упущенных из внимания вещей.

Пятый постулат геометрии Лобачевского утверждает, что если на плоскости лежат прямая и точка, то через эту точку мож­но провести хотя бы две прямые, не пересекающиеся с первой прямой. А в геометрии Евклида через точку можно провести только одну-единственную прямую. Таким образом, неевкли­дова геометрия допускает, что на одной плоскости может на­ходиться сразу несколько прямых линий, не пересекающихся друг с другом.

А утверждение о возможности пересечения параллель­ных прямых в геометрии Лобачевского возникло из-за про­стого незнания аксиом этой геометрии. Ведь при ближайшем рассмотрении оказывается, что в неевклидовой геометрии не только не говорится о пересечении параллельных прямых, но и не говорится о параллельных прямых вообще — разговор здесь идет именно о непересекающихся прямых, находящихся на одной плоскости.

Чтобы понять это, необходимо сделать одно очень важное уточнение: геометрия Лобачевского описывает не плоское пространство, как это делает геометрия Евклида, а оперирует понятиями гиперболического пространства. В геометрии Ло­бачевского пространство не плоско, оно имеет некоторую от­рицательную кривизну. Представить это достаточно сложно, но хорошей моделью такого пространства являются геометриче­ские тела, похожие на воронку и седло. И все сказанное выше относится именно к поверхностям этих фигур.

Так что необходимо избавиться от превратных понятий о геометрии Лобачевского и понять, что она может применяться только по отношению к миру с искривленным пространством. Однако космология (наука, изучающая Вселенную) в последние годы приходит к выходу, что пространство, в котором мы живем, может обладать отрицательной кривизной, наилучшим образом описываемой именно геометрией Лобачевского.

Интересные факты о Евклиде | VivaReit

Античный математик и философ Евклид жил в 3 веке до нашей эры. И математиком он был действительно выдающимся – не только для своего времени, но и для современности. Ведь та самая геометрия, которую сегодня изучают школьники всего мира, носит название евклидовой. Она базируется на пяти аксиомах, выведенных именно им. Без преувеличения, этот ученый заложил фундамент современной геометрии и во многом – математики как науки.

И наверняка многим будет интересно узнать некоторые занимательные факты из жизни Евклида.

Откуда и когда

Примечательно, что доподлинно не известно, когда именно и в каком месте родился Евклид. По скудным записям из арабских книг 12-го века можно судить, что отца его звали Наукрат, а сам будущий великий математик родился в Греции.

Предполагается, что свое образование он начал получать Академии Платона, при входе в которую, кстати, была надпись: «Никогда не войдет сюда тот, кто не знает геометрии».

Впрочем, и обстоятельства и даже точная дата смерти Евклида также покрыты тайной: предполагается, что это печальное событие произошло не позднее 265 года до нашей эры.

Царские пути

Одна из самых известных легенд о Евклиде дошла до нас со слов самого Архимеда. Тот поведал, что однажды сам царь Птолемей решил начать изучать геометрию по «Началам» Евклида. Однако наука показалась царской особе весьма трудной и никак не давалась. И тогда Птолемей поинтересовался, нет ли способа как-нибудь попроще и побыстрее все освоить… На что Евклид произнес сегодня уже ставшую крылатой фразу: «В геометрии нет царских путей».

Выгодная наука

Также известен случай, когда один ученик поинтересовался у знаменитого математика, чем ему может оказаться выгодной геометрия в жизни. На что Евклид подозвал слугу и велел дать ученику три обола (денежная единица), сказав при этом:

— Дай ему денег, раз ему хочется только прибыли от науки.

Множество Начал

Интересно, что «Начала» Евклида не были единственными «Началами» и до него. Прежде многие ученые писали научные труды, и носили они название именно «Начала». Однако только Евклидовы стали знамениты в веках.

Но великий геометр не строил свои труда на абсолютно пустом месте. Справедливости ради, стоит отметить, что многие из его теорем строились на базе уже имевшихся в то время знаний. Но Евклид собрал их воедино, классифицировал и смог обосновать с научной точки зрения.

По строгой логической цепочке

Именно в своих «Началах» Евклид сделал то, что сегодня кажется само собой разумеющимся: он стал основывать все свои выводы на цепочке строгих логических выводов. При этом он считал важным, что цепочка должна где-то начинаться, а не вырастать из пустого места, поскольку при этом она может никогда и не закончиться. Должно быть, с этим связано и само название его научного труда. Но, поскольку добраться до самого начального суждения было весьма трудно, Евклид сам сформулировал свои знаменитые аксиомы – утверждения, не требующие доказательств. И только на этих аксиомах ему удалось вывести все остальные доказательства и теоремы.

Платон мне друг


Как уже было сказано, Евклид обучался в школе у самого Платона. Не удивительно, что и по философским своим суждениям он относился к так называемым платоником. В частности, он полагал, что в основе всего лежат четыре элемента – вода, воздух, земля и огонь.

Недоказанные труды Евклида

Арабы – да и не только они – часто приписывают Евклиду и прочие труды во многих областях знаний, начиная от музыки и заканчивая медициной. Например, фундаментальный труд по теории музыки «Гармоника», а также «Деление канонов». Однако уже в наше время было доказано, что никакого отношения математик к данным трудам не имеет. Скорее всего, автором их был пифагореец Клеонид. Хотя и это доподлинно не известно.

Добрая математика

Другой древний математик – Папп – сообщает, что Евклид был необычайно мягок и добр по отношению к тем, кто, во-первых, мог бы помочь в распространении математики как науки, а во-вторых, если видел, что человек действительно испытывает тягу к геометрии. Он был способен даже изменить свое мнение о том или ином человеке, если вдруг узнавал, что того интересует или наоборот – не интересует – математика.

И музей, и библиотека

Также известно, что Евклид на рубеже третьего столетия до нашей эры организовывал открытие музея и библиотеки в городе Александрии. Здесь же он совершил впоследствии множество своих открытий. Кроме того, и музей, и библиотека при Евклиде играли роль древних научных центров.

«Вечная» книга

Подчиняясь школе Платона, Евклид полагал, что все, что он излагает в своих «Началах» не только не подвергается сомнению, но и будет существовать вечно. Как бы то ни было, но более 2 тысяч лет именно по трудам Евклида ученики осваивают премудрости геометрии.

Неевклидова геометрия

И только через 2 с лишним тысячи лет российский математик Лобачевский усомнился в безраздельной справедливости геометрии Евклида. Он вывел «свою собственную» геометрию, которая базировалась не на плоскости, а на псевдосфере. Интересно, что все Аксиомы, выведенные Евклидом, сохранялись. Кроме одной – о параллельных прямых.

Кроме Лобачевского, «свою» геометрию вывел и немецкий математик Риман. В настоящее время три геометрии странным образом сосуществуют в мире – Евклидова, Римана и Лобачевского.

Так ли это было, как описывают некоторые истории о Евклиде, а, может, и вовсе ничего подобного не было – не столь уж важно. Автор «Математических начал» навечно вписал свое имя в анналы науки, там он и останется – наряду с такими гениями, как Ньютон, Галилей, Сократ или Пифагор.

История геометрии — интересные факты и информация

  • Слово «геометрия» происходит от греческих слов «гео», что означает земля, и «метрия», что означает мера.

  • Наряду с арифметикой геометрия была одной из двух областей досовременной математики.

  • Древние египтяне использовали принципы геометрии еще в 3000 году до нашей эры, используя уравнения для аппроксимации площади кругов среди других формул.

  • вавилоняне измерили длину окружности круга примерно в 3 раза больше диаметра, что довольно близко к сегодняшнему измерению, в котором используется значение Пи (около 3,14).

  • Греческого математика по имени Евклид, жившего около 300 г. до н.э., часто называют «отцом геометрии» за его удивительные работы по геометрии, которые включали влиятельные «Элементы», которые оставались основным учебником для преподавания математики примерно до начала 20-го века. век.

  • Греки построили эстетически привлекательные здания и произведения искусства на основе золотого сечения примерно 1,618.

  • Греческий философ и математик Пифагор жил около 500 г. до н.э. и известен своей теоремой Пифагора, относящейся к трем сторонам прямоугольного треугольника: a² + b² = c²

  • Архимед Сиракузский жил примерно в 250 году до нашей эры и сыграл большую роль в истории геометрии, включая метод определения объема объектов неправильной формы.

  • Циркуль и линейка были мощными инструментами в развитии геометрии, позволяя создавать различные длины, углы и геометрические формы.

  • Современная геометрия претерпела изменения во многих областях, в том числе в тех, которые используют вычислительную мощность современных компьютеров.

  • 13 интересных фактов о геометрии

    Геометрия — это то, что заставляет нас открывать закономерности, находить длину, ширину, площади, углы и, короче говоря, улучшать наше понимание форм, размеров и окружающего нас мира.

    1. Происхождение геометрии

    История происхождения слова «Геометрия» составляет интересное произведение. Оно происходит от греческого слова «Гео», означающего «Земля», и «Метрия», означающего «Мера». По сути, это измерение Земли.
    Источник: Википедия, Изображение: Ancientmaths.com

    2. Отец геометрии

    Греческий математик Евклид сделал несколько удивительных работ по геометрии, включая влиятельные «Элементы», которые были частью учебников по преподаванию математики примерно до начала 20 века.Евклид жил примерно в 300 г. до н.э. и благодаря своему вкладу известен как «Отец геометрии».
    Источник: wikipedia, Изображение: wikipedia

    3. История геометрии

    Использование принципов геометрии восходит к 3000 году до нашей эры, когда древние египтяне использовали различные геометрические уравнения для вычисления площади кругов среди других формул.
    Источник: wikipedia, Изображение: history.com

    4. Теорема Пифагора старая

    Единственная теорема, которую мы помним из всей сложной геометрии, — это теорема Пифагора, относящаяся к трем сторонам прямоугольного треугольника: a² + b² = c².Вы будете удивлены, узнав, что эта теорема была сформулирована греческим философом и математиком, жившим примерно в 500 году до нашей эры.
    Источник: wikipedia

    5. Вклад других математиков в геометрию

    Другой известный математик Архимед Сиракузский из 250 г. до н.э. сыграл важную роль в разработке геометрии. Он работал над определением объема предметов неправильной формы.
    Источник: mathsisfun.com

    6.Греки использовали геометрию при создании здания

    Греки настолько увлекались использованием геометрии, что создавали произведения искусства и сдавали в аренду здания, исходя из золотой нормы примерно 1,618. Теперь у вас есть еще один повод полюбить эту тему!
    Источник: geometrymaths.weebly.com, Изображение: architecture.eu

    7. Мощные инструменты геометрии

    Двумя наиболее мощными инструментами геометрии, которые помогли в продвижении предмета, которые помогли в построении различных длин, углов и геометрических форм, были Компас и Прямой край.
    Источник: oureverydaylife.com, Изображение: flickr

    8. Вавилоняне и Пи

    Считается, что вавилоняне в древнюю эпоху изобрели размер круга, который был примерно в 3 раза больше диаметра. Интересно, что это довольно близко к сегодняшнему измерению числа Пи (около 3,14).
    Источник: wikipedia, Изображение: mathsisfun.com

    9. Ветви геометрии

    Бьюсь об заклад, когда мы берем классы по геометрии, мы вряд ли думаем, что у них так много ответвлений для изучения.Очевидно, этот предмет очень разнообразен и включает множество ветвей, таких как евклидова геометрия, аналитическая, проективная, дифференциальная, топология, неевклидова.
    Источник: wikipedia

    10. Захватывающая формула Эйклера

    Если мы возьмем любое трехмерное твердое тело с плоскими гранями, известное как многогранник, например куб, пирамида или футбольный мяч, затем добавим количество граней к количеству вершин и затем вычтем число. ребер всегда дают нам ответ 2.Например. Куб, имеющий 6 граней, 8 вершин и 12 ребер, будет равен 6 + 8-12 = 2.
    Источник: wikipedia

    11. Для компьютеров и калькуляторов необходима геометрия

    Современная геометрия прошла долгий путь на этапах своего развития и используется во многих областях, например, в вычислительной мощности современных компьютеров. Знание этого предмета важно для компьютерной графики или калькулятора для решения структурных задач.
    Источник: mathsisfun.com, Изображение: digital.artnetwork.com

    12. Ранняя фаза эры геометрии

    Начало геометрии было открыто людьми в древней долине Инда и древней Вавилонии с 3000 г. до н.э. Он был обнаружен для практических целей строительства, астрономии, геодезии и различных ремесел. Египтяне также были частью ранней фазы эпохи геометрии.
    Источник: wikipedia, Изображение: Ancientcultures. co.in

    13. Введение в трехмерную геометрию

    В период Возрождения проективной геометрии художники, такие как Да Винчи и Дюрер, открыли методы для представления трехмерных объектов на 23 поверхностях.Они были усовершенствованы в 19 и 20 веках, а в 20 веке проективная геометрия использовалась для компьютерной графики.
    Источник: geometrymaths.weebly.com, Изображение :gressive.regressive.com

    Интересные факты и информация о геометрии

    Геометрия — это раздел математики, который в основном занимается изучением различных линий, твердых фигур, их узоров, свойств, определения длины, ширины, ширины, площадей, углов и многого другого. Принципы геометрии использовались еще у древних египтян, примерно в 3000 году до нашей эры.

    Происхождение слова Геометрия происходит от греческого слова, обозначающего измерение Земли. Евклид, греческий математик, известен как отец геометрии из-за его большого вклада. Помимо измерения или нахождения площади твердых фигур, приложения геометрии также широко используются в геодезии, строительстве зданий, навигации, а также применяются в области компьютеров, робототехники и видеоигр.

    Ниже приведены более интересные факты о геометрии.

    • Существует множество разделов геометрии, включая евклидову и неевклидову геометрию, дифференциальную, проективную, аналитическую и топологию.
    • Треугольник — это многоугольник с 3 сторонами и 3 углами. Существует 45 различных типов треугольников, и площадь треугольника рассчитывается путем умножения его основания на половину его высоты.
    • Теорема Пифагора — старая теорема, которая была подготовлена ​​примерно в 500 году до нашей эры греческим философом и математиком.
    • Компас был самым мощным и древним инструментом геометрии, который помогал в построении углов, измерении длины и других геометрических фигур.
    • Геометрия используется для расчета и измерения размера, формы, площади и периметра твердых фигур, включая площадь круга, радиус, длину окружности и т. Д.
    • Четырехугольник — это многоугольник с 4 сторонами и 4 прямыми углами. Четырехугольники подразделяются на множество форм, включая квадраты, прямоугольники, ромбы, воздушные змеи, трапеции и т. Д., И в основном основаны на количестве сторон и углов.

    Это были некоторые интересные факты о геометрии. Геометрия — важный курс математики, который преподается в младших классах, чтобы обеспечить ее важность и другие практические применения в нашей повседневной деятельности.Геометрия — одна из древнейших форм математики, поскольку ее использовали еще древние люди. Среди всех твердых геометрических фигур в строительстве часто используются треугольные формы из-за их большой прочности.

    Для получения дополнительных фактов и информации по геометрии и другим темам математики студенты могут посетить наш веб-сайт BYJU, а также учиться, просматривая интерактивные видеоуроки по различным темам математики, подписавшись на канал BYJU на YouTube.

    4 забавных факта о геометрии — плюс в домашних репетиторах

    Есть много забавных фактов о геометрии, которые вы, вероятно, не знали…

    (и что ваш учитель, возможно, не сказал вам!)

    Геометрия включает изучение нескольких различных форм; включая треугольники, круги, квадраты и четырехугольники.Знаете ли вы, что у разностороннего треугольника геометрии нет сторон равной длины и равных углов? Или вы знали, что в геометрии слово «четырехугольник» происходит от «quad», что означает «четыре», и «lateral», что означает «сторон»?

    Вы студент из Сан-Диего или Ла-Хойи, борющийся с геометрией? Многим ученикам трудно понять все концепции, которые охватывает геометрия, и в конечном итоге они получают помощь от репетитора. Простой способ начать изучать геометрию — это понять, что это изучение различных форм и углов.

    Вот 4 забавных факта, которые вы можете просмотреть со своим репетитором по геометрии:

    Треугольник: забавные факты о геометрии, которые стоит обсудить с преподавателем в Сан-Диего
    :

    — Три внутренних угла геометрического треугольника всегда составляют 180 градусов
    — Равносторонний треугольник в геометрии имеет три стороны равной длины и три равных угла
    — Самая длинная сторона прямоугольного треугольника в геометрии называется гипотенузой и всегда находится напротив прямого угла

    Circle забавных фактов о геометрии, с которыми вам может помочь ваш репетитор из Сан-Диего:

    — Расстояние по внешней стороне круга называется окружностью
    — Все точки на краю круга находятся на одинаковом расстоянии от центра
    — Окружность имеет самый короткий периметр среди всех форм с одинаковой площадью

    Square забавных фактов для изучения с репетитором по геометрии:

    — Сумма внутренних углов квадрата составляет 360 градусов
    — Диагонали квадрата делят друг друга пополам под углом 90 градусов и перпендикулярны
    — Квадрат имеет 4 линии симметрии отражения

    Четырехугольник забавных фактов по геометрии для изучения с вашим репетитором из Сан-Диего:

    — Любой четырехугольник с 4 прямыми углами является прямоугольником
    — Четырехугольники с 2 наборами параллельных сторон называются параллелограммами
    — Ромб является хорошим примером ромба (четырехугольника с 4 сторонами одинаковой длины)

    Чем больше вы изучаете геометрию со своим учителем, вы обнаружите, что это действительно может быть довольно интересно и весело.Получение репетитора в Сан-Диего или Ла-Хойе действительно может помочь вам узнать больше о геометрии и увидеть, насколько это увлекательно.

    www.APlusInHomeTutors.com

    4 важных факта о геометрии, которые нужно знать —

    Геометрия — это раздел математики, с которым должен быть знаком каждый студент. Он широко используется в математике и других областях, поэтому важно изучить его основы. Геометрия в первую очередь занимается изучением форм, размеров и пространства. Это делает его популярным среди младших и старших классов. Это поле не только помогает в математике, но и улучшает навыки рассуждения и решения проблем. По этой причине необходимо изучать основы геометрии и хорошо понимать ее концепции.

    Перед изучением геометрии необходимо знать несколько важных вещей.Эти факты предоставят предварительный обзор геометрии и раскроют массу причин для прогресса в этой области. В этой статье изложены четыре важных факта, которые должен знать каждый изучающий геометрию. На этих фактах строится прочный фундамент в математике.

    Формулы общей геометрии

    Формулы геометрии — это основа усвоения геометрии. Изучение этих формул на базовом и сложном уровнях жизненно важно для всестороннего понимания математики. Некоторые из самых старых формул геометрии включают теорему Пифагора и число Пи.

    Другие распространенные формулы включают:

    • Площадь треугольника и других многоугольников.
    • Окружность круга.
    • Измерения углов по окружности.
    • Углы многоугольника.
    • Площадь поверхности различных твердых тел.

    Некоторые из основных формул просты и понятны. Однако студентам может потребоваться помощь при работе с тригонометрией, радианами и коническими сечениями. Надомник упрощает работу студентов, слабых в этих областях.Это важно для успешного выполнения домашних заданий и тестов по геометрии.

    История геометрии

    Слово «геометрия» по-гречески означает измерения земли. Первоначальные принципы геометрии были разработаны египтянами. Они разработали некоторые геометрические уравнения, которые используются для вычисления площадей различной формы, включая круги. Греки усовершенствовали эти формулы и, таким образом, получили признание в развитии геометрии. Один из древнегреческих математиков Евклид считается отцом геометрии. Это связано с его огромным вкладом в эту область математики.

    Ветви геометрии

    Геометрия подразделяется на несколько частей. Основные подразделения включают плоскую геометрию и твердотельную геометрию. Плоская геометрия — это базовое поле, имеющее дело с точками, линиями и плоскостями, такими как квадраты, прямоугольники, треугольники и круги. С другой стороны, твердотельная геометрия имеет дело со сложными вычислениями, такими как периметр, площадь и объем геометрических фигур. Расчет длины дуги и радиуса окружности также относится к твердотельной геометрии.

    Приложения геометрии

    Применение геометрии восходит к вавилонянам и грекам. С развитием пи, вычисления площадей многоугольников и объемов твердых тел, геометрия применима в самых разных областях. Строительные конструкции, распределение пространств и произведения искусства — все зависит от геометрии. Это гарантирует соблюдение всех пропорций и необходимых соотношений. Это достигается за счет использования самых важных инструментов геометрии, линейки и циркуля.Прямая кромка гарантирует, что можно изготавливать изделия различной длины и формы. Рисование окружностей и дуг разной длины и радиуса зависит исключительно от компаса.

    Понимание основ геометрии необходимо студентам всех уровней. Знание этого важного предмета приведет к улучшению рассуждений, решению проблем и координации. Поэтому абсолютно необходимо, чтобы каждый ученик стремился усвоить основы геометрии.

    Что такое геометрия? — Определение, факты и примеры

    Учитесь с помощью полной программы обучения математике K-5

    Что такое геометрия?

    Геометрия — это раздел математики, изучающий размеры, формы, углы расположения и размеры предметов.

    Плоские формы, такие как квадраты, круги и треугольники, являются частью плоской геометрии и называются 2D-фигурами. Эти формы имеют только 2 измерения: длину и ширину.

    Примеры двумерных форм в плоской геометрии

    Твердые объекты также известны как трехмерные объекты, имеющие третье измерение высоты или глубины.

    Примеры трехмерных форм в твердой геометрии

    Угол :

    Вершина фигуры, где встречаются два ребра, образуют угол.Различные геометрические формы имеют разные размеры углов.

    Например :

    • Треугольник — это 3-сторонняя форма, размер трех внутренних углов которого составляет 180 °.

    • Квадрат, прямоугольник или четырехугольник имеют четырехугольную форму, а их внутренние углы измеряются 360 °.

    • Другие многоугольники, такие как пятиугольник, шестиугольник, семиугольник, восьмиугольник, имеют 5, 6, 7, 8 сторон соответственно и разные углы.

    Примеры различных многоугольников с их углами и сторонами

    Мы изучаем различные аспекты форм, такие как измерение углов, длины сторон, площади, объема и т. Д. В геометрии.

    Сходство и соответствие — два важных аспекта геометрии.

    Сходство : Сходство — это когда две формы одинаковы, но их размеры могут различаться.

    Конгруэнтность : Конгруэнтность — это когда две формы абсолютно одинаковы по форме и размеру.

    Координатная плоскость :

    • Координатная плоскость — это двумерная поверхность, образованная двумя числовыми линиями, пересекающими друг друга под прямым углом.

    • Горизонтальная числовая линия — это ось x, а вертикальная числовая линия — ось y.

    • Пересечение двух осей — координата (0,0).

    • Используя координатную плоскость, мы наносим точки, линии и т. Д. Соединяя различные точки на координатной плоскости, мы можем создавать формы.

    Мы используем формулу и теоремы для решения геометрических задач.

    Формула — это математическое уравнение для решения геометрической задачи, а теорема — это утверждение, которое доказывается с использованием ранее известных фактов.

    Например, «Теорема Пифагора » доказала, что a2 + b2 = c2 для прямоугольного треугольника, где a и b — стороны прямоугольного треугольника, а c — гипотенуза.

    Однако a2 + b2 = c2 — это формула для нахождения гипотенузы прямоугольного треугольника.

    Интересные факты

    Геометрические факты для детей | KidzSearch.com

    Геометрия — это часть математики, которая изучает размер, форму, положение и размеры предметов.Мы можем видеть или создавать только плоские (2D) или твердые (3D) формы, но математики (люди, изучающие математику) могут изучать формы, которые являются 4D, 5D, 6D и т. Д.

    Квадраты, круги и треугольники — одни из самых простых форм в плоской геометрии. Кубы, цилиндры, конусы и сферы — это простые формы в твердой геометрии.

    использует

    Геометрия плоскости может использоваться для измерения площади и периметра плоской формы. С помощью твердотельной геометрии можно также измерить объем и площадь твердой формы.

    С помощью геометрии можно рассчитать размер и форму многих предметов. Например, геометрия может помочь людям найти:

    Истоки

    Геометрия — один из старейших разделов математики. Геометрия зародилась как искусство геодезии земли, чтобы люди могли справедливо распределять ее между собой. Слово «геометрия» происходит от греческого слова, которое означает «измерять землю». Из этого она превратилась в одну из важнейших частей математики. Греческий математик Евклид написал первую книгу о геометрии, книгу под названием The Elements .

    Неевклидова геометрия

    Плоская и твердотельная геометрия, описанная Евклидом в его учебнике «Элементы», называется «Евклидовой геометрией».

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *